Thank you very much for your invitation. I would definitely like to attend your cerebration party.

invite が「招待する」という動詞に対して、invitation は「招待」という名詞ですね。He gave me an invitation card for the party next Friday.（彼は、今度の金曜日のパーティーの招待状をくれた。）また、例文で使用した definitely という表現ですが、「もちろん！確かだ！」という相槌で使用する場合もあれば、今回の例文の場合においては、yesの返事を強調するために使っています。It is definitely the wallet I've been looking for. （この財布は確かに私が探していた物だわ。）

I would definitely like to attend the party next week. I look forward to it.

Definitely は、文章の意味を強めるときに使いますよ。意味としては「もちろん」「是非とも」「絶対に」そのような意味が加えられます。(例）It's definitely going to be fantastic! （絶対に素晴らしいものになるわよ！）A: Would you like to eat pizza tonight? (今夜ピザ食べたい？）B:Definitely!（もちろん！）/ Definitely not. I want to go to a more romantic place. （絶対にいやよ。もう少しロマンティックな所がいいわ。）このような応答をする場面でも使えますよ。

Well then, I will bring my wife if that's ok.

「お言葉に甘えて」という表現は、様々な言い方ができます。If that's ok for you, then I will do ~/ If you are sure it's alright この様な言い方もいいですし、または、If you say so / If you insist このような表現も、日本語でいう「お言葉に甘えて」というニュアンスになります。

Thank you very much for inviting me to be a part of your celebration party. I look forward to it very much.

a part of ～=「～の一部」という言い方です。（例）Would you please be a part of this project?（この企画の一員になってくれないかい？）

I gratefully accept the invitation to the anniversary party.

gratefully は、「感謝を持って／喜んで」という表現です。例）He gratefully bought a new computer for his wife.（彼は妻の為に喜んで新しいパソコンを購入した。）

I look forward to it. Is there anything I can bring?

ホームパーティーなどに招待された際は、何か持っていくものがあるかどうかを尋ねることは、一応の礼儀になります。おそらくホストは、Just bring yourelf! こう言うかと思いますが、意味は「手ぶらで来て！」という意味ですね。

It sounds like an informative event. I am excited about seeing you again!

日本語でも、information （インフォメーション）「情報」という言葉はよく耳にしますが、別の言い方をすれば、informative = something that has a lot of information to learn の意味です。要は、「教育的な／有益な」という意味です。

I hereby accept the invitation for the party next Friday.

hereby は「この文章によって／この契約によって」という意味ですので、何かフォーマルで正式な文章を書く際にピッタリな表現ですね。

I am looking forward to catching up with you.

catch up は「追いつく」という意味の他にも、例文の様に、久しぶりに会う相手に対して「近況を報告し合う」「語り合う」という様な表現として使うことができます。

Thanks for your invitation. I will head for there around 7pm.

head for 〜=「〜に向かう」という表現ですよ。例）She is going to head for the station to reserve the ticket.（彼女は駅に切符をとりに向かいます。）

About the invitation that you gave me, I suppose I can attend.

suppose は、様々な用途がありますが、例文のsupposeは、「～だと思う。」という様に、物事を仮定する際に使います。例）I suppose he will come today.（彼は、今日来ると思うよ。）

That sounds like a great opportunity! I will try to get there somehow.

somehow 「どうにかして」という意味ですので、I will get there somehow.（なんとか行くよ）という表現です。例文では、try を加えていますので、「行けるか行けないかは分からない」でも、「なんとか行ってみる」という意味合になります。例）Somehow I have to figure this out.（どうにかしてこれを解決しなければいけない。）