Living abroad makes me miss my mother's cooking.

日本語でも「懐かしい」は、色々な使い道があるかと思います。かつて慣れ親しんだ物や人を思い出す、思い出としての「懐かしい」または、分かれた家族や恋人を慕い、愛おしい意味での「懐かしい」など、様々ですね。例文では故郷の母の味を慕っての「懐かしい」ですので、「恋しい」という意味がある、miss を使っています。

The view from here reminds me of my hometown.

この例文での「懐かしい」は、記憶を思い出しての「懐かしい」です。remind には「人や物が、～のことを（人に）思い出させる」という意味があります。例）She reminds me of my mother.（彼女は、僕の母親を思い出させる）（彼女をみて、母親を懐かしむ気持ち）が伝わってきますね。

This basketball brings back memories of my childhood.

bring back memories =「記憶を思い出す」という意味での、「懐かしい」を表現しています。例）Looking at you brings back memories of the days playing with my little sister. （君をみていると、妹と遊んだ日々を思い出して懐かしいよ。）

This smell of the house is familiar to me.

familiar は、聞き慣れているもの、見慣れているものに対して「良く知っている」という意味で使う表現です。例文では、「家の匂いに、何か慣れ親しみがある」ということから、「懐かしい」という感覚を掴めると思います。

Recently, I am into watching the movies that I used to like.

The movies that I used to like =「かつて好きだった映画」という意味ですが、いわゆる「懐かしい映画」として表現する事が出来ますね。

The summer vacation last year was so memorable.

memorable は、「忘れ難い／記憶に残る」という意味がありますので、過去の出来事を懐かしんで表現する際に使う事が出来ます。

In my longing for her I couldn't stop holding her.

longing for〜 で「思いを募らせる」という意味がありますので、何かが恋しかったり、熱望している時に「懐かしい」という意味を込めて使う事が出来ます。

I feel nostalgic coming back here.

旧友や、故郷を懐かしむ様な、どことなく切ない感情を表現する時に、I feel nostalgic 「懐かしい」という表現がピッタリですよ。

It feels like yesterday.

とてもシンプルな表現ですが、何故か遠い昔のことなのに昨日のことのように思い出される時がありますよね。そんな時に、It feels like yesterday. この表現を使ってみましょう！

It was such a memorable experience when I think of it now.

memorable は「忘れられない・記憶すべき」という意味ですが、「忘れられないもの」=「懐かしいもの」という意味を込めて表現できるかと思います。

There is no time to reminisce about old times. You gotta take an action now.

reminisce には「回想する／思い出にふける」という意味があります。また、There is no time to ~ =「～する時間はない。」という表現ですね。

I brought something you may be familiar with.

「懐かしい」という表現に、何か「慣れ親しみがあるもの」に対して使う、familiar という表現を使いました。Be familiar with ~ で「～に精通している」という表現ですので。良く知っているものに対して、I am familiar with ~ と、使う事が出来ます。例）Let me fix this. I am familiar with mechanics. （僕にこれを治させて。機械には精通しているんだ。）