Hi, how's it going?

友人へのメールは、How are you doing? / What's up? / How's it going? などの様に、カジュアルに相手の様子を尋ねる挨拶から書き出すのが一般的です。いきなり用件から入らずに、このような挨拶を一言加えると、とてもいいですね。

Hi, how are you? I know you're working very hard as always. I am praying for you every day.

「忙しくしているんでしょうね。」という時には、I am sure that you are staying very busy. / I know that you are working very hard.この様な表現の仕方がありますよ。また、アメリカでは良く頻繁に「神様」に携わる表現をします。Oh my God. などもそうですが、pray「祈る」も良く出てくる単語の一つですので覚えましょう。play 「遊ぶ」とは発音が違いますから注意して"R"の発音をしましょう。I am praying for your success. (君の成功を祈っているよ。）このように使いますよ。是非ご参考にしてみてくださいね。

Hey, I wanted to ask you, does the next party start at 7?

こんな言い方もできますよ。I want to make sure what time the next party starts; was it from 7? （今度のパーティー何時に始まるか確認したいんだけど、7時からだっけ？）

Thanks a lot for the wonderful time last weekend, we really enjoyed ourselves.

友人に宛てるカジュアルなメールでの御礼は、例文の様に"Thanks a lot."（本当ありがとう！）このような表現が親しみを感じますね。

You are not gonna believe this, but I got 100 percent on the math test.

You are not gonna believe this = You are not going to believe this. の省略形です。信じがたい事が起きた時に「信じられないと思うけどさ、」このように話を切り出す際に使いますよ。

It's been ages since I've heard from you.

It's been ages since ~ =「～から随分経ちます。」という表現で、久しぶりに再会した友人などを懐かしむ際に使えます。また、久しぶりに行った場所などで、It's been ages since I came here! このように言ってもいですね。

I am sorry that I kept you waiting and didn't email you right away.

keep（人）waiting =「（人）を待たせる」という表現です。例）He has been keeping me waiting for 30 minutes now.（彼は30分も私を待たせている。）

I hope this mail finds you well.

I hope this mail finds you well. は、手紙やEメールの冒頭でよく使われる表現で、「お元気の事と思います。／お変わりなくお過ごしの事と思います。」このような意味として使いますよ。

Hey, so glad to hear from you.

久しぶりに連絡を取り合う友人や、返事を待っていた相手から連絡が来た際に使える表現です。glad の代わりに good や、nice を使って表現してもいいですね。例）Good to hear from you. / Nice to hear from you. / Happy to hear from you.

I am writing this to inform you of my marriage.

inform A of B =「AにBを知らせる」という表現です。例）I informed my friend of the deadline for an important homework assignment that we got while he was absent.(友人に彼の欠席中に出された大切な宿題の期限を知らせた。）