AAC is demanding for the cancelation of a contract we have made, should we have the emergency meeting right now?

demand は「～を強く要求する」という意味があります。また、request / ask という表現を使うことも可能です。AAC is asking for the cancelation. ／ AAC is requesting for the cancelation. また、緊急会議は、emergency meeting という表現が使えますね。

There is a big accident and the traffic doesn't move at all. That being said, it seems to be difficult to attend the meeting today.

not at all〜「少しも〜でない」という表現を見てみましょう。I don't mind at all.（少しも気にしないよ。）I can't speak Japanese at all. （日本語は少しも話せません。）また、例文にあるThat being said という表現ですが、「そういう訳で」という様に何か話をまとめたり、理由を述べるときに使います。That being said, you changed your career.（そういう訳で君はキャリアを変えたんだね。）

I had a emergency call from the hospital, I gotta run.

I gotta run = I've got to run の省略した形ですが、意味は「今直ぐに行かなきゃ！」という表現になります。少しカジュアルな表現ですので、丁寧に言いたい場合は、I need to leave right away. （今直ぐに行かなければいけません。）このような言い方がいいですね。

Mr. Josh from AAC asked you to contact him as soon as possible.

このように表現してもいいですね。Mr. Josh from AAC is waiting for your contact as soon as possible . / Mr. Josh from AAC said he would like to contact you as soon as possible.

I have to leave early due to an unexpected family emergency.

早退をするは、leave early で表現しましょう。例）I left early from work today to go the dentist.（今日は歯医者に行く為に仕事を早退したよ。）

All train services are suspended and I am not quite sure what time I can come to work.

suspend には「一時停止／遅延」の意味がありますので、電車の遅延トラブルの際に、使えます。また、「～する目処が立たない」とは、「この先のことがどうなるのか分からない」という意味ですので、簡単に英語で表現をすると、I am not quite sure ~. 「全く定かではありません。」このように表現できます。例）I am not quite sure if I can visit your party this Sunday.（この日曜日に君のパーティーにお邪魔出来るかどうかは、目処が立たないんだ。）

This letter is to inform you that I have a sudden emergency. My wife had a heart stroke this morning and I am requesting that you grant me leave for 1 week.

grant は、「承諾する／叶えてやる／許す」などの意味があります。人に何かのお願いをする時に使える表現です。例）Please grant me permission to go to a university in America.（アメリカの大学にいく許可をください。）

A: Boss, we have a situation. B: I am listening.

We have a situation は、何か問題が起きた時に使います。We have a problem と同じ意味だと思ってください。situation は、「状況」という意味ですが、We have a situation. と言った場合には、必ず何か悪い状況にある事を意味します。

AAA company has just set out on an investigation of our company.

set out は「（旅や仕事に）出発する・始める」という意味がある表現です。例）He set out for a trip to Japan.（彼は日本への旅行へ出発した。）

I am under the necessity of having to cancel my appointment with Mr.Satou.

under the necessity of 〜ing=「やむ負えず〜する・〜する必要にある」という表現ですので、覚えておくと便利です。necessityには、「緊急の必要」という意味がありますよ。

I received the call from Mr.Tanaka about an essential matter.

essential は お馴染みの important「大切な」と同じように、「とても重要な・必須の」という意味があります。例）English is quite an essential subject to learn from childhood. (英語は、子供のころから学ぶべきである大変重要な科目です。）

Strictly speaking, the offer has been cancelled.

strict=「厳しい」という表現で、My father is very strict to me.「父は私にとても厳しい」という言い方をしますが、Strictly speaking では「厳密に言うと」という表現になります。